Александр Иосифович Батурин родился 17 (4) июня 1904 года в местечке Ошмяны под Вильнюсом в семье сельского учителя. Его отец умер, когда Батурину исполнился только год и жизнь семьи протекала в большой нужде.
В 1911 году семья Батуриных переехала в Одессу, где через несколько лет будущий певец поступил на курсы автомехаников и начал работать в гараже. Его пение на самодеятельной сцене было замечено профессиональными певцами и Александр получил направление на учёбу в Петроградскую консерваторию, которую в 1924 году Батурин закончил с отличием.

На выпускном экзамене А.К.Глазунов делает запись: "Превосходный голос красивого тембра, сильный и сочный. Ярко талантлив. Ясная дикция. Пластическая декламация. 5+ (пять с плюсом)". Нарком по просвещению, ознакомившись с этой оценкой знаменитого композитора, направил молодого певца для совершенствования в Рим. Там Александр Иосифович поступил в Музыкальную академию "Санта Чечилия", где занимался под руководством знаменитого Маттиа Баттистини. В миланском театре Ла Скала молодой певец спел партии Дона Базилио и Филиппа II в "Дон Карлосе", а затем выступал в операх "Бастьен и Бастьенна" Моцарта и "Колен" Глюка.
В период обучения в Римской академии (1925-1927) певец совершил гастрольную поездку по Европе (Франция, Бельгия, Германия) и возвратился на Родину. В 1927 году его зачислили солистом в Большой театр, где он пел до 1958 года.
Первое его выступление в Москве состоялось в партии Мельника ("Русалка"). С тех пор Александр Иосифович исполнил на сцене Большого множество ролей. Он пел как басовые, так и баритоновые партии, благодаря уникальному диапазону голоса. Творчество певца расширило исполнение русских народных песен и обширный камерный репертуар. С увлечением исполнял певец произведения современных композиторов. Он стал первым исполнителем посвящённых ему Д.Д.Шостаковичем шести романсов.
А.Батурин снялся в трёх кинофильмах: "Простой случай", "Концерт-вальс" и "Земля".
В московской консерватории А.И.Батурин с 1948 года вёл класс сольного пения (среди его учеников А.Ведерников, Н.Гяуров). Он подготовил научно-методический труд "Школа пения", в котором стремился систематизировать свой богатый опыт и дать подробное описание приёмов обучения пению. С его участием был создан специальный фильм, в котором широко освещены вопросы вокальной теории и практики. Долгое время в Большом театре Батурин работал педагогом-консультантом. 
А.И.Батурин - Народный артист России (1947), Лауреат Государственной премии СССР (1943).
Умер в 1983 году.