Герман Григорьевич Окунев родился 14 июня 1931 года в Ленинграде.
Учился в музыкальной школе при Ленинградской консерватории (в том числе во время блокады Ленинграда).
В школьные годы сочинил ряд песен патриотической тематики на стихи Б.Кежуна, Вс.Рождественского, В.Лебедева-Кумача, М.Исаковского.
За участие в многочисленных концертах для солдат и раненых 4 сентября 1944 года был награждён медалью «За оборону Ленинграда». 

В 1947 году по окончании школы поступил в училище при консерватории в классы композиции Бориса Клюзнера и фортепиано Евгении Гейман, а затем в Ленинградскую консерваторию, где также учился композиции у Ореста Евлахова и фортепиано у Абрама Логовинского.
В творчестве Окунева ученического периода преобладали вокально-симфонические и вокально-инструментальные сочинения, в том числе на стихи М.Лермонтова, И.Никитина, А.Прокофьева.
После окончания консерватории в 1956 году был распределён преподавать в музыкальном училище города Фрунзе, где открыл первый класс композиции. В этот период много занимался обработками киргизской народной музыки для оркестра и для фортепиано, совместно с Калыем Молдобасановым написал балет «Куйручук» (1960). Успешно представлял киргизскую музыку на Декаде музыки союзных республик в Москве (1958). Среди учеников Окунева — композиторы Умар Бексултанов, Владимир Сапожников и др.
В 1961 году вернулся в Ленинград, где в 1964 году окончил аспирантуру под руководством Д.Д.Шостаковича.
Преподавал в консерватории, написал две симфонии, Концерт для фортепиано и камерного оркестра (1972), ряд камерных сочинений, произведения для детей. Важнейшая работа последнего периода его жизни — оставшийся неоконченным балет «Шинель». 
Погиб в автомобильной катастрофе 13 июня 1973 года.