Вадим Козин родился 21 марта (3 апреля) 1905 г. в Санкт-Петербурге, в семье петербургского купца первой гильдии Алексея Козина и цыганки из хоровой династии Ильинских-Санкиных Веры Ильинской. Отец умер рано, поэтому Вадим был вынужден прервать обучение в гимназии, чтобы помогать матери и сёстрам. Артистическую карьеру Козин начал тапёром, озвучивая немые кинофильмы. Потом начал петь. Выступал на эстраде с 1920-х. Пел в комическом хоре Чарова, затем начал сольные выступления, исполнял цыганские песни и романсы («Калитка», «Утро туманное», «Мой костер»), произведения русских композиторов, собственные сочинения. Популярность Козина в крупных городах России, а особенно в Ленинграде, в 1930-х годах была фантастической. По воспоминаниям современников, за грампластинками Козина выстраивались огромные очереди. Во избежание беспорядков приходилось подключать даже конную милицию. Козин пел в основном под фортепианный аккомпанемент Давида Ашкенази, также под джаз-ансамбль В. Сидорова, гавайский ансамбль Б. Крупышева. Вдохновение его было таково, что он с гордостью вспоминал, что в каждом концерте исполнял без микрофона и усилительной техники до сорока песен.

В годы Великой Отечественной войны Козин выступал с концертами в частях действующей армии. По распоряжению наркома путей сообщения ему для поездок был выделен специальный вагон. Пластинки с записями Козина попадали в особую категорию (не подлежали сдаче на переплавку). В 1941 г. Козин подготовил программу, в которую вошла его патриотическая песня «Москва» («Нет, моя Москва не будет взята ими…»).

В начале декабря 1943 г. Козин вместе с Морисом Шевалье, Марлен Дитрих и Изой Кремер участвовал в концерте для участников Тегеранской конференции.

С 1945 года голос Козина пропал из эфира; пластинки не выпускались. За некоторое время до своего ареста у Козина произошёл словесный конфликт с Л.Берией, причиной стало невыполненное обещание Берии эвакуировать родных Козина из Ленинграда, где они и погибли. И как следствие, Особым совещанием при НКВД в 1944 году он был осуждён на 8 лет по 121 статье (за мужеложство и совращение малолетних). Отбывал наказание на Колыме. Был досрочно освобождён в 1950 г. — за примерное поведение и хорошую работу. В справке, выданной управлением лагерей, в графе «по какой статье осужден» был поставлен прочерк.

Биографы певца отмечают, что срок Козин отбывал легко, к тяжёлым физическим работам не привлекался, работал в Магаданском музыкально-драматическом театре наряду с другими известными артистами-заключёнными Колымалага. От тяжёлых работ его спасла Александра Гридасова, начальник Маглага СВИТЛа.

В 1950-е годы возобновил концертную деятельность сначала в Сибири, а затем и в европейской части СССР, наращивая былую популярность. Однако в 1959 году был повторно осуждён по той же статье. До конца жизни жил в Магадане, оставаясь своеобразной достопримечательностью города, человеком-легендой.

В 1960-х появляются песни «Не стращай меня горькой судьбой» (А. Ахматова), «Лишь черный бархат» (Н. Гумилёв), «Не буди воспоминаний» (К. Бальмонт), «Идут белые снеги» (Е. Евтушенко). В предвоенные и военные годы у Козина было выпущено более 50 пластинок в Грампласттресте.

В начале 1990-х годов в стране неожиданно проснулся интерес к забытому певцу. На центральных телеканалах вышло несколько передач, посвящённых его творчеству и таланту. На празднование 90-летнего юбилея певца в 1993 году в Магадан вылетела целая делегация известных деятелей культуры во главе с Иосифом Кобзоном. Был организован «Музыкальный салон Вадима Козина».

Скончался Вадим Алексеевич 19 декабря 1994 года в Магадане. Похоронен в Магадане на Марчеканском кладбище. За свою жизнь он создал около 300 песен, а его репертуар насчитывал свыше 3000 песен.

После его смерти музыкальный салон был преобразован в мемориальный музей-квартиру.